冲激函数的取样性质怎么理解
冲激函数的取样性质意味着对冲激函数进行采样运算后，可以得到目标信号在采样时刻上的值。冲激函数通常定义为零时间常数、幅值无限大、面积为1的矩形脉冲信号，在时域上是一个非常短暂的信号。在连续时间系统中，冲激函数可以用于表示系统的单位响应。冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的一些特性的研究。冲激函数及其延时冲激函数的线性组合来表示或逼近，再利用系统的迭加原理，可以通过简单的信号如单位冲激函数的频谱，以及频域特性来讨论比较复杂信号的频谱。
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信号与系统 冲激函数的性质
1、筛选性质
如果信号x(t)是一个在t=t₀处连续的普通函数，则有
上式表明，信号x(t)与冲激函数相乘，筛选出连续时间信号x(t)在t=t₀时的函数值x(t₀)，可以理解为冲激函数在t=t₀时刻对函数x(t)的一瞬间的作用，其值是冲激函数和x(t₀)相乘的结果，瞬间趋于无穷大。
2、取样性质
如果信号x(t)是一个在t=t₀处连续的普通函数，则有
冲激信号的取样特性表明，一个连续时间信号x(t)与冲激函数相乘，并在时间域
上积分，其结果为信号x(t)在t=t₀时的函数值x(t₀) 。该式可以理解为冲激函数作用于函数x(t)，趋于稳态时最终作用的结果，即得到信号x(t)在t₀时刻的值x(t₀)。
3、导数性质
冲激函数的导数性质如下：
其证明如下：
4、尺度变换
冲激函数的尺度变换性质如下：
其推论明如下：
（1）
（2）
（3）当a=-1时
（4）
为偶函数。
（5）
为奇函数
参考资料来源：百度百科-冲激函数
冲激函数的性质是什么?
冲激函数的性质如下：
1、抽样性。
2、奇偶性。
3、标度变换。
4、微分性质（冲激偶）和积分性质。
5、卷积性质。
应用
冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的一些特性的研究。
冲激函数及其延时冲激函数的线性组合来表示或近，再利用系统的迭加原理，可以通过简单的信号如单位冲激函数的频谱，以及频域特性来讨论比较复杂信号的频谱，从而减少计算复杂信号频谱的难度。
谁能帮我浅显的解释一下冲激函数的广义函数定义？为什么冲激函数作用于检验函数的效果是给它赋值*(0)
简单来说就是符合下面这一性质的函数g(t)就叫做冲激函数：
这一性质用语言来描述就是g(t)作用于f(t)的结果是f(0)，这里的“作用于”，就是记为Ng[ ]
然后举几个符合上述性质的函数：
高斯钟形函数
取样函数
注：以上内容主要来自 西电 郭宝龙 老师的公开课，在mooc和B站上有全套资源
如何理解单位冲激信号的性质.尤其是x(t)δ(t)=x(0)δ(t).这个性质.
狄拉克函数只在0点有值,其他处为0,工程中将其0点的值定为1,所以只有x(0)处的值不是乘以0,其他点的值全部等于和0相乘
信号与系统
信号与系统
whye
可以用函数表示的信号
不能用确定的函数表示，只能知道它的统计学性质。
连续信号通过取样成为离散信号
离散-》连续：零阶保持/分段线性
定义域是连续的
如果函数值也连续，则称为模拟信号
定义域是离散的
取值离散时称为数字信号
对于定义点等间隔的称为序列，其中自变量k称为序号。离散时间信号记f(kT)，也做f(k)
两个周期信号合成后是否是周期信号
如果信号的周期之比T1/T2都是有理数，那么合成信号周期为子信号的最小公倍数。如果多个信号
如果信号周期之比是无理数，则合成信号是非周期信号。
判断离散信号是否是周期信号：判断相应连续函数周期是否为有理数
周期序列之和一定是周期序列
将信号f(t)施加在1欧姆电阻上，他所消耗的瞬时功率为|f(t)|的平方，定义能量和平均功率信号为
能量有限信号：E<无穷 P=0
功率有限信号：p<无穷 E=无穷
因果信号：t=0时接入信号，即t<0时f(t)<0
反因果信号：t>=0时，f(t)=0的信号（除0信号）
t>0时为1称为单位阶跃函数
阶跃函数的导数
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。高度用（1）表示。
冲激函数可以描述断点处的导数，称为奇异函数
冲激函数在广义函数中的定义
冲激函数sigma(t)作用与检验函数psi(t)的结果是赋值为psi(0)， 称为冲激函数的取样性质，即
注意积分区间是否包含积分时刻t=0
同理有
y=f(t)，将一维实数空间的数t经过f所规定的运算映射为一维实数空间的数y。
选择一类性能良好的函数psi(t)作为检验函数（相当于自变量），一个广义函数g(t)对检验函数空间中的每个函数psi(t)赋予一个数值N的映射，记
sigma'(t)称为冲激偶
sigma'(t)的定义
为什么用上面推导的式子积分结果比定义式多了一项，因为sigma(t)是偶函数，他的导数sigma'(t)是一个奇函数，在0的对称区间上积分为0
同理有
对n阶导数的推广
注意，冲激函数的尺度变化时，冲击强度也要变化
一般的，有
同理有
和信号类似
注意节约序列k=0是取值为1
同一t和k进行加减乘
由f(t)得到f(-t)
以y轴为对称轴做镜像处理
注意平移和反转都是对变量t进行操作
信号定义：由若干相关事物组合而成具有特定功能的整体。
给定一个输入（激励），产生一个输出（响应）
系统的作用：将激励进行加工和处理，产生需要的输出。
集中参数系统：电路尺寸<<波长
分布参数系统：电路尺寸与波长相近，如微波线路
系统的状态：可能会被过去的输入所影响。由状态和输入就可以产生输出。
输入和状态都会对输出产生响应，因此有了零输入响应、零状态响应和全响应。
线性：齐次性、可加性
记忆系统：响应会被过去的状态影响的系统
对于一个即时系统，可由上面的方式判断是否线性，对于一个记忆系统，可将其分为零状态和零输入
注意f代表激励，x代表状态，t代表时间
动态系统的线性判断：
时不变系统：输入延迟多久，那么输出也延迟多久，即系统不随时间改变
例
理解 f是输入，t是时间 是关键。
简单判断方式：
如果在输入前出现变系数，或者时间上存在反转、展缩变换，那么为时变系统。
线性时不变系统称为LTI系统
微分特性
积分特性：
因果系统：零状态响应不会出现在响应的激励之前的系统
例
非因果系统：零状态响应会出现在响应的激励之前的系统，即响应为未来的激励
例
例
注意因果系统中，要在结果中乘上xi(t)。
加法器、乘法器、积分器
：齐次解+特解
齐次解由系统本身的性质确定与输入的激励无关，称为自由响应/固定响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
和输入没关系，由状态产生，因此y_zi(0+)=y(0-),f(t)=0,求零输入响应也就是求状态为y(0-)的齐次解，解出零输入响应后要注明t>0。
和状态无关，即y_zs(0-)=y_zs'(t)=0，再求经典解即可。同样注明t>0，使sigma(t)=0，xi(t)=1
h(t),由单位冲激信号产生的零状态响应
g(t),由单位阶跃信号产生的零状态响应
信号分解：将f(t)分解为基本信号的组合
卷积：将普通信号分割为无穷份，再积分
卷积积分的严格定义
卷积图解法
信号正交的定义
若n个函数在(t_1,t_2)区间内任意两个函数都正交，则称此函数集为区间(t_1,t_2)上的正交函数集。
若一个正交函数集中的任意一个函数与自身的内积为1，则称该函数集为标准正交函数集。
在一个正交函数集外，不存在一个不为0的函数满足该函数与该函数集中任意一个函数正交，则称这个函数集为完备正交函数集。
振幅/相位在频率上的函数，称为振幅谱/相位谱，自变量为
三角形式中的n取值为n>0，那么频谱图分布在正半轴，称为单边谱，指数形式中n取值为负无穷到正无穷，称为双边谱
信号与系统中的冲激信号怎么理解
冲激信号是指当时间t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当时间t从正值趋于0时，它是一个强度为无限大的负的冲激函数。
冲激信号有三个特点：
1、除了时间t等于0之外幅值处处为零；
2、在时间t等于0处幅值为无穷大；
3、在包含冲激信号的位置上任意区间内面积为1。
向下的冲激函数怎么表示
用泛函定义理解:其实就是冲击函数的取样特性,负的，箭头朝下冲激信号箭头朝下，强度为-4E/て；大于-て/2时为2E/て，小于-て/2时为0，2E/て-0=2E/て.
冲激函数在复数域怎么算
冲激函数的性质的计算,单位冲激函数求导
如上所述，各个矩形脉冲的时域波形如下图所示。
图1单一矩形脉冲信号
可以通过傅立叶变换求出其频谱函数
(1) ) ) )。
频谱函数的示意图(频域分布曲线)如下图所示。
图2单矩形脉冲的谱函数
一、特殊的单个矩形脉冲信号
如果数值取单一矩形脉冲信号的脉冲宽度
(2) ) ) )。
无论脉冲宽度如何变化，函数图像下方的面积总是为1，即
(3) ) )。
如下图所示。
图3特殊的单矩形脉冲
这个特殊的单一矩形脉冲信号的数学公式
(4) ) )。
因此，该傅立叶变换可以从式(1)中得到
(5) ) )。
这是最大振幅为1的采样函数，频域曲线如下图所示
图4特殊单矩形脉冲的光谱
二、单位冲激函数的定义
对于图3和式(4)所示的特殊的单一矩形脉冲，若将脉冲宽度设为0并取极限，则单一矩形脉冲成为t=0且持续时间无限小、宽度无限大、面积为1的特殊信号(或广义函数)。 科学界将此广义函数称为单位脉冲函数或xndls(dirac )函数。 表记为
(6) ) )。
单位脉冲函数的示意图如下图所示
图5单位脉冲函数示意图
单位脉冲函数是广义函数，其振幅为无穷大，图像只能用带箭头的射线表示。 但是，通常不是其振幅，而是只用括号表示脉冲强度(s )，即面积。 根据等式(3)和(6)，发现其面积(脉冲强度)为1，并且被称为“单位”脉冲函数。 单位脉冲函数的自变量不限于时间t，并且可以是任意物理量x。
实际上延迟的单位脉冲函数也很常用，公式如下。
(7) ) )。
其形象是
图6延迟的单位脉冲函数的示意图
三、单位冲激函数的性质
ndent:2em;">根据单位冲激函数的定义，它具有下列最基本的性质：
1、广义积分归一性：
（8）
2、筛分性质：单位冲激函数与任意函数乘积，等于只筛选出t=t0时刻f（t）的值作为冲激强度。
（9）
3、抽样性质：
（10）
更一般地，有
（11）
即通过与δ函数（或延时的δ函数）乘积的积分，把任意的连续函数f（t）抽样为t＝t0处的一个函数值。
4、微积分性质：δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε（t）。
（12）
反过来单位阶跃函数的微商等于单位冲激函数：
（13）
其中单位阶跃函数为
（14）
其图象为
图7 单位阶跃函数的图象
四、单位冲激函数的频谱
由单位冲激函数的定义和抽样性质，其频谱密度函数（傅里叶变换）为：
（15）
频谱如下图：
图8 单位冲激函数的频谱
实际上，由式（5）和图5可以看出，当特殊的单个矩形脉冲信号的持续时间τ趋于无穷小时，频谱图5中的零点趋于无穷远处，即
（16）
则很容易看出图5的频谱曲线就转化成图8的水平线。可见单位冲激函数的频带宽度为无穷大，科学界称这样的频谱密度为“均匀谱”或曰“白色谱”。
五、连续函数的冲激表示
引进冲激函数概念，为信号的时域分析和频域分析提供了极大的方便。比如任何一个连续函数f（t）都可以表示为无穷多个不同加权的冲激函数之和，即加权积分：
（17）
利用冲激函数的抽样性质，请问: ①冲激函数右上角的(1)表示什么意思？ ②如何求解
意思就是：一阶导数
信号与系统加权和取样性质的区别
加权性质是一个信号，取样性质是一个值。信号与系统加权性质是针对两个信号做乘法，结果仍然是信号；取样性质本质是求了一个积分，结果是一个值，注意积分上限，所以信号与系统加权和取样性质的区别为加权性质是一个信号，取样性质是一个值。
