怎麼解微分方程
微分方程指描述未知函式的導數與自變數之間的關係的方程。 微分方程的解是一個符合方程的函式。 比如： y'=x 就是一個微分方程 解法: dy/dx=x dy=xdx dy=1/2 dx^2 則 y=1/2 x^2+C
本文我們將從以下幾個部分來詳細介紹如何解微分方程：基本方法、解一階微分方程、解二階微分方程、解高次微分方程
學了兩三學期的微積分以後就要利用導數來完整地練習解微分方程了。導數是一種資料相對於另一種的變化速率。例如，速度隨著時間的變化率就是速度關於時間的導數（和斜率相比較一下）。每天這種變化率都會出現很多次，例如，複利定律中，利息增加的速度和賬戶金額成比例，用dV(t)/dt=rV(t) 和 V(0)=P 可以表示出來（P就是初始金額），V(t)是時間的函式，表示目前的賬戶金額數（用以不斷評估利息），r是目前利率（dt是極短的時間間隔，dV(t)是無窮小金額，是V(t)在這個時間的變化，他們的商是增加速率）。雖然信用卡利息通常是每日累積計算，以APR（年度增加率）來表示，這個微分方程還是可以可以解出一個方程，得到連續解V(t)= Pe ^(rt)。本文將教你如何解決最常見型別的微分方程，尤其是力學和物理方程。第一部分：基本方法
∵齊次方程y''-5y'+6y=0的特徵方程是r²-5r+6=0，則r1=2，r2=3 ∴齊次方程y''-5y'+6y=0的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x) (C1,C2是積分常數) ∵設原方程的解為y=(Ax²+Bx)e^(2x) 代入原方程 ==>A=-1/2,B=-1 ∴原方程的一個解是y=-(x²/2+x)e^
第1步：定義導數。
解答 微分方程y''-3y'+2y=xex對應的齊次微分方程為y''-3y'+2y=0 特徵方程為t2-3t+2=0 解得t1=1，t2=2 故齊次微分方程對應的通解y＝C1ex+C2e2x 因此，微分方程y''-3y'+2y=xex對應的非齊次微分方程的特解可設為y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex y*'=[a
當變數傾向於0的時候，函式（一般是y）增量和變數（一般是x）增量的比值會取得一個極限值，這就是導數（也稱為微分系數，特別在英國）。或者說在一瞬間，變數的微小變化造成的函式的微小變化。以速度距離，速度就是距離對時間的瞬時變化。下面比較一階導數和二階導數:
標準形式 y″+py′+qy=0 特徵方程 r^2+pr+q=0 通解 1.兩個不相等的實根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x) 2.兩根相等的實根：y=(C1+C2x)e^(r1x) 3.共軛復根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx) 標準形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) 解法 通解=非齊次方程特解+齊
一階導數即原導數的函式。例如:“速度是距離關於時間的一階導數。”
1、無阻尼的簡諧自由運動的微分方程： mx''+kx=0 (1) 2、初始條件: x(0)=x0 x'(0)=x'0 (2) (1)的特徵方程：ms^2+k=0 (3) 解出： s1=(k/m)^0.5 s2=-(k/m)^0.5 (4) 3、(1)的通x(t)=C1e^(s1t)+C2e^(s2t) （5） 根據（2）-> C1+C2=x0 C1s1+C2s2=x'0
二階導數即函式導數的導數。例:“加速度是距離對時間的二階導數。”
通解是指滿足這種形式的函式都是微分方程的解，例如y'=0的通解就是y=C，C是常數。通解是一個函式族 特解顧名思義就是一個特殊的解，它是一個函式，這個函式是微分方程的解，但是微分方程可能還有別的解。如y=0就是上面微分方程的特解。 特解在解
第2步：不要混淆階數（最高導數階數）和次數（導數的最高次數）。
通解並不包含所有解。 對於一個微分方程而言，其解往往不止一個，而是有一組，可以表示這一組中所有解或者部分解的統一形式，稱為通解（general solution）。對一個微分方程而言，它的解會包括一些常數，對於n階微分方程，它的含有n個獨立常數的
最高導數次數是由最高階導數的階數決定的。導數的最高次數則是導數中的項的最高次數。比如圖一的微分方程是二階、三次導數。
將特解代入微分方程得 (7/3)(x+1)^(5/2) + (2/3)(x+1)^(7/2) p(x) = (x+1)^(5/2) 得 p(x) = -2/(x+1), 微分方程是 y' - 2y/(x+1) = (x+1)^(5/2) 通解 y = e^[2dx/(x+1)] {∫(x+1)^(5/2)e^[-2dx/(x+1)]dx + C} = (x+1)^2 [∫(x+1)^(1/2)dx + C] = (
第3步：瞭解如何區別通解、完全解和特解。
解答 微分方程y''-3y'+2y=xex對應的齊次微分方程為y''-3y'+2y=0 特徵方程為t2-3t+2=0 解得t1=1，t2=2 故齊次微分方程對應的通解y＝C1ex+C2e2x 因此，微分方程y''-3y'+2y=xex對應的非齊次微分方程的特解可設為y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex y*'=[a
完整解包含一些任意常數，任意常數的數目和導數的最高階數相等（要解開n階微分方程，需要進行n次積分，每次積分都需要加入一項任意常數）。例如在複利定律裡，微分方程dy/dt=ky是一階導數，完整解y = ce^(kt) 正好有一個任意常數。特解是用特定數字帶入通解來獲得的。
這是微分方程，就是y是x的函式，y的倒數是與y和X都相關的。 含有未知函式的導數，如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函式、未知函式的導數與自變數之間的關係的方程，叫做微分方程。 未知函式是一元函式的，叫常微分方程；未知函式是多元
第二部分：解一階微分方程
微分方程指描述未知函式的導數與自變數之間的關係的方程。 微分方程的解是一個符合方程的函式。 比如： y'=x 就是一個微分方程 解法: dy/dx=x dy=xdx dy=1/2 dx^2 則 y=1/2 x^2+C
一個一階一級的微分方程可以表達為M dx + N dy = 0，M和N分別是x和y的函式。為了解決這個微分方程，按如下步驟來做:
1、無阻尼的簡諧自由運動的微分方程： mx''+kx=0 (1) 2、初始條件: x(0)=x0 x'(0)=x'0 (2) (1)的特徵方程：ms^2+k=0 (3) 解出： s1=(k/m)^0.5 s2=-(k/m)^0.5 (4) 3、(1)的通x(t)=C1e^(s1t)+C2e^(s2t) （5） 根據（2）-> C1+C2=x0 C1s1+C2s2=x'0
第1步：看看這個變數是否可分離。
通解是指滿足這種形式的函式都是微分方程的解，例如y'=0的通解就是y=C，C是常數。通解是一個函式族 特解顧名思義就是一個特殊的解，它是一個函式，這個函式是微分方程的解，但是微分方程可能還有別的解。如y=0就是上面微分方程的特解。 特解在解
一個微分方程若可以表達為f(x)dx + g(y)dy = 0，則其變數可分離。f(x)是隻關於x的函式，g(y)是隻關於y的函式。這些都是最容易解的微分方程。他們可以積分為∫f(x)dx +∫g(y)dy = c，c是一個任意常數。下面是一個通用的方法，參見圖2為例。
1.可以解析求解的微分方程。 dsolve() 呼叫格式為： y=dsolve(f1,f2,,fmO; y=dsolve(f1,f2,,fm,'x'); 如下面的例子,求解了微分方程 syms t; u=exp(-5*t)*cos(2*t-1)+5; uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u,t)+2*u; syms t y; y=dsolve(['D4y+10*D3
去掉分式部分。如果等式含有微分，用獨立變數的微分相乘。
這種形式，你得看方程的具體形式 因為方程中既有x又有y 你如果設y'=p，則方程中出現了x，y，p三個量，顯然不能這樣設。 故這種方程沒有統一的方程，得具體方程具體分析。 而對於非齊次線性方程，如y''+y=x這種的，書上就有方法了。
把所有具有相同微分的項集合成一項
通解中含有任意常數,而特解是指含有特定常數。 比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解，但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解，其中C為任意常數。 拓展資料： 微分方程指含有未知函式及其導數的關係式。解微分方程就是找出未知函式。 求通解在歷史上曾作為微
分別積分不同微分的部分。
∵齊次方程y''-5y'+6y=0的特徵方程是r²-5r+6=0，則r1=2，r2=3 ∴齊次方程y''-5y'+6y=0的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x) (C1,C2是積分常數) ∵設原方程的解為y=(Ax²+Bx)e^(2x) 代入原方程 ==>A=-1/2,B=-1 ∴原方程的一個解是y=-(x²/2+x)e^
簡化表示式。可以通過合併同類項，把對數轉化為指數，用最簡單的符號來表達任意常數，以下為例
已知微分方程的通解怎麼求這個微分方程 求導！如：1。x^2-xy+y^2=c 等式兩邊對x求導：2x-y-x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0 故dy/dx=(2x-y)/(x-2y)；或寫成 2x-y-(x-2y)y′=0 若要求二階微分方程則需再求導一次： 2-y′-(1-2y′)y′+(x-2y)y〃=0 2。e^(-ay
第2步：如果變數是不可分離的，檢查該微分方程是否是齊次的。
一階微分方程 如果式子可以導成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解 若式子可變形為y'=f(y/x)的形式，設y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解 若式子可整理為dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分離係數法，兩邊積分求
如果把x和y替換為λx和λy，會導致整個函式的值為原函式乘以λ的n次方，那麼λ的次數n就是原函式的次數。這樣微分方程M dx + N dy = 0就是均勻的。如果出現這種情況，請用以下步驟來解。圖3是一個示例。
(1)兩邊對x求導,得 y'=y'+xy''+y''+2y'y'' 可以發現方程化成了y''=f(x,y')的形式 y''(x+1+2y')=0 當x+1+2y'=0時,解得y=-1/4*(x+1)²+C 當y''=0時,解得y=C1x+C2.但 y'=C1,代入原方程中得C1x+C2=C1x+C1+C1²,∴C2=C1+C1² ∴解為y=Cx+C+
讓 y=vx， 得出dy/dx = x(dv/dx) + v.
從 M dx + N dy = 0可得到dy/dx = -M/N = f(v)。因為 y 是v的函式。
得出 f(v) = dy/dx = x(dv/dx) + v 。 現在變數x 和 v 可以分離了： dx/x = dv/(f(v)-v))
用可分離的變數解新得出的微分方程，然後用y替代vx 得出y
第3步：如果不能用以上方法得出結果，試試可不可以用dy/dx + Py = Q形式的線性方程解出來（P Q 都是隻關於x的方程或常數）。
記住這裡x、y可以交替使用。圖4為例：
設 y=uv，u 和 v 是x的函式。
兩邊微分，得到 dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)
代入dy/dx + Py = Q 得到 u(dv/dx) + v(du/dx) + Puv = Q，或 u(dv/dx) + (du/dx + Pu)v = Q
通過積分可以分離變數的等式du/dx + Pu = 0得到u。然後用u的值，通過u(dv/dx) = Q得出 v ，這裡的變數仍然可以分離
最後用y=uv 得出y
第4步：解伯努利方程： dy/dx + p(x) y = q(x) yn 。 通過以下方法來解： 設 u = y1-n，這樣 du/dx = (1-n) y-n (dy/dx). 因此得出 y = u1/(1-n)、 dy/dx = (du/dx) yn / (1-n)和 yn = un/(1-n) 代入Bernoulli Equation， 同乘(1-n) / u1/(1-n)得出 du/dx + (1-n) p(x) u = (1-n) q(x) 注意這只是關於u的一階線性方程，可以用上述方法來解（步驟3）。解出之後代入y = u1/(1-n) 得到完整解。 第三部分：解二階微分方程 第1步：看看微分方程是否符合圖5的等式（1），f(y)是隻關於y的函式，或者是一個常數。 如果是，就只要用圖5標出的方法來做就好。 第2步：用常係數求解二階線性微分方程：看看這個微分方程滿足不滿足圖6中的等式(1)。 如果滿足，這個微分方程可以簡單用下列步驟當作一個二次方程來解。 第3步：要解個一般的二階線性微分方程，要看看該微分方程是否滿足圖7所示的方程(1)。 如果是這樣，可以用下列的步驟解決微分方程。以圖7的步驟為例。 把圖6方程(1)（f(x)=0）以上面說過的方法解出來。 解出來是y = u的形式，u是圖7方程 (1) 的餘函式。 按以下步驟代入試出一個圖7方程(1)的特解y = v。 若 f(x) 不是方程(1)的特解，則： 若 f(x) 形式為f(x) = a + bx，則假設y = v = A + Bx; 若 f(x) 形式為f(x) = aebx，則假設y = v = Aebx; 若 f(x) 形式為f(x) = a1 cos bx + a2 sin bx，則假設y = v = A1 cos bx + A2 sin bx. 若 f(x)是(1)的特解則按以上形式各種情況再乘一個x 方程 (1)的完整解則是通過 y = u + v得出 第四部分：解高次微分方程 高階微分方程更難解，除了以下某些特殊情況: 第1步：看看該微分方程是否滿足圖5中方程(1)形式，f(x)是一個只關於x的函式或一個常數。 如果是，則按照圖8步驟解。 第2步：看看該微分方程滿足不滿足圖9方程(1)的形式。 如果是，可如下解決微分方程: 第3步：要解更一般的“n”階線性微分方程，要看看該微分方程是否滿足圖10方程(1)形式。 如果是這樣，此微分方程和二階線性微分方程解決方法類似。如下所示求解: 現實中的應用 注意，複利法適用於日常生活的許多方面。比如，假設你正用往鹽溶液裡倒水來淡化鹽濃度，需要新增多少水？水流速度是怎樣影響濃度變化的？ 設s=一定時間鹽溶液中的鹽量，x =已流過的水量，v =溶液體積。鹽濃度=s/v。現在假設Δx體積的水溢位了，這樣鹽的流失量是(s / v)Δx，因此改變鹽的攝入量Δs可以由Δs = -(s / v)Δx得出。兩邊同除以Δx，得Δs /Δx = -(s / v)。取極限Δx——> 0，然後就有ds / dx = - s / v。這是一種複利定律形式的微分方程。其中y是現在的s，t是現在的x，k現在是1/v。 牛頓冷卻定律是另一種複利定律的變體。它表示在低溫環境中，體溫降低，和身體溫度與周圍空氣的溫度差是成正比的。設x =身體的過高溫度，t =時間，得出dx / dt =kx。k是一個常數。解得x = ce ^(kt)，c如上，是一個任意常數。假設過高溫度x最初在80華氏度（26攝氏度），一分鐘後降到70華氏度（21度），2分鐘後是什麼情況? 讓t =時間（分鐘為單位），x =過高的溫度。得到80= ce ^(k * 0)= c。同時，70 = ce ^(k * 1)= 80 e ^ k，這樣k = ln(7/8)。所以x = 70 e ^(ln(7/8)t)是這個函式的一個特解。現在設t = 2，得x = 70 e ^(ln(7/8)* 2)= 53.59華氏度。 在大氣熱力學裡，高於海平面的大氣壓力p的變化率，和海拔高度h成比例。這是另一種複利定律的變式。這裡的微分方程是dp / dh = kh，k是常數。 化學中化學反應的速率，是在時間t內反應量x關於t的變化率。讓a=開始反應時的濃度，那麼就有dx / dt = k(a - x)，k是速率常數。這是另一種複利定律變體。(a - x)現在是因變數。可以發現d(a - x)/ dt = - k(a - x)，所以d(a - x)/(a - x)= -kdt。積分，得到ln(a - x)= kt+a。因為t = 0時a - x =a。整理一下等式，會得到速率常數k =(1 / t)ln(/(a - x))。 在電磁學中，給定一個電路，電壓是V，當前電流是i(安培)。電壓V克服電路中的電阻R(歐姆)和電路的電感L時會產生消耗。L由方程V =iR+ L(di / dt)或di / dt =(V - iR)/ L決定。這是另一種複利定律的變式，V - iR現在是因變數。 聲學上，簡單的諧波振動具有和負距離成正比的加速度。回想一下，加速度是距離的二階導數，所以d2s / dt2 + k2s = 0， s =距離，t =時間，和k2的是在單位距離的加速度大小。這是一個簡單的諧波方程，也是一個二階常係數線性微分方程，和圖6中解的方程(9)和(10)類似。得出的解是s = c1cos kt + c2sin kt。 這個方程可以進一步簡化。設c1 = b sin A，c2 = b cos A 。代入得到b sin A cos kt + b cos A sin kt。回想一下三角函式中，sin(x + y)=sin x cos y + cos x sin y，所以表示式可以簡化為s = b sin (kt + A)。波形遵循簡單的諧波方程，以2π/ k為週期在- b和b之間擺動。 彈簧振動：把一個質量m的物體放在振動的彈簧上。根據胡克定律，當彈簧從自然長度（或在平衡位置）拉伸或壓縮s單位時，產生的回覆力F與s成正比，或F = -k2s。由牛頓第二定律（力等於質量乘以加速度），得到 m d2s / dt2 = -k2s 或 m d2s / dt2 + k2s = 0。這是一個簡單諧波方程的表示式。 阻尼振動：如上述情況，考慮一個帶阻尼力的振動彈簧。阻尼力，如摩擦力，是任何能減少振盪器振盪幅度的效應力。例如，根據阻尼力原理可以製造汽車減震器。在大多數情況下，阻尼力Fd,大概和物件速度成正比，或Fd = c2 ds / dt，c2是一個常數。結合阻尼力和恢復力的公式，我們由牛頓第二定律得到-k2s - c2 ds / dt = m d2s / dt2 ，或者 m d2s / dt2 + c2 ds / dt + k2s = 0。這個微分方程是一個二階線性方程，可以通過s= e ^(rt)解出輔助方程mr2 + c2r + k2 = 0 來解。用二次公式解這個方程，得到r1 =(c2 + sqrt(c4 - 4 mk2))/ 2 m，r2 =(c2 - sqrt(c4 - 4 mk2))/ 2m。 過阻尼情況：如果c4 - 4 mk2 > 0，r1和r2是相異的實數。可以用s = c1e ^(r1t)+ c2e ^(r2t)來解。因c2、m、k2都是正數，sqrt(c4 - 4 mk2)必須小於c2，這意味著兩根r1和r2是負數，函式是指數衰減形式。在這種情況下彈簧振動不會發生。阻尼力強的材料可以用來製造高粘油或潤滑脂。 臨界阻尼情況：如果c4 - 4 mk2 = 0，r1 = r2 = c2 / 2m，得出的解是s =(c1 + c2t)e ^((-c2/2m)t)。這仍然是指數衰減，彈簧不會振動。然而假使阻尼力稍微下降一點，將導致物體振動經過平衡點。 欠阻尼情況：若c4 - 4 mk2 < 0，得到複數根，即- c /2m + / -ωi，ω= sqrt(4 mk2 - c4))/ 2m。得出解是s = e ^(-(c2/2m)t)(c1 cos ωt + c2 sin ωt)。這是一個受e ^(-(c2/2m)t阻尼因子影響的振盪情況。因為c2和m都是正數，因此t趨向於無窮大時e ^(-(c2/2m)t)趨向0。所以最終運動將衰變為零。 小提示 注意：微分的反面是積分，積分用來計算不斷變化的量的累積總和。例如通過已知的一定時間內的距離的損失變化率（速率）計算距離(根據d = rt)。 把解回代入原始微分方程，看看是否滿足。這樣可以確保你解對了方程。 很多微分方程難以用上述方法來解。但上述方法已經足以對付常見的微分方程了。 警告 和可以求導的那些方程不同，很多微分方程表示式是不能求積分的。所以不要浪費時間求不能求積的函式的積分式。要記得查查積分表來確認可否求導。微分方程只在化簡成含有積分形式的表示式時可以求解，無論積分形式實際上成立與否。 你需要準備 紙張 水筆或鉛筆 一張積分表可能會幫你點忙 參考 http://math.uww.edu/~mcfarlat/250de2.htm http://www.physics.ohio-state.edu/~physedu/mapletutorial/tutorials/diff_eqs/intro.html http://www.sosmath.com/tables/diffeq/diffeq.html 擴充套件閱讀，以下內容您可能還感興趣。 求解微分方程 這種形式，你得看方程的具體形式 因為方程中既有x又有y 你如果設y'=p，則方程中出現了x，y，p三個量，顯然不能這樣設。 故這種方程沒有統一的方程，得具體方程具體分析。 而對於非齊次線性方程，如y''+y=x這種的，書上就有方法了。 這個微分方程怎麼求通解 將特解代入微分方程得 (7/3)(x+1)^(5/2) + (2/3)(x+1)^(7/2) p(x) = (x+1)^(5/2) 得 p(x) = -2/(x+1), 微分方程是 y' - 2y/(x+1) = (x+1)^(5/2) 通解 y = e^[2dx/(x+1)] {∫(x+1)^(5/2)e^[-2dx/(x+1)]dx + C} = (x+1)^2 [∫(x+1)^(1/2)dx + C] = (x+1)^2 [(2/3)(x+1)^(3/2) + C] = C(x+1)^2 + (2/3)(x+1)^(7/2) , 選 D。追問好像就是這樣，這題我一直看的y的x次冪 冪指函式。。。本回答被提問者採納 微分方程的特解代入原式怎麼求 解答 微分方程y''-3y'+2y=xex對應的齊次微分方程為y''-3y'+2y=0 特徵方程為t2-3t+2=0 解得t1=1，t2=2 故齊次微分方程對應的通解y＝C1ex+C2e2x 因此，微分方程y''-3y'+2y=xex對應的非齊次微分方程的特解可設為y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex y*'=[ax2+（2a+b）x+b]ex y*''=[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]ex 將y*，y*'，y*''代入微分方程y''-3y'+2y=xex消去ex即可得到： [ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax2+（2a+b）x+b]+2（ax2+bx）=x -2ax+2a-b=x −2a＝1 2a+b＝0 a＝− 1 2 b＝1 所以，非齊次微分方程的特解為y*＝(− 1 2 x2+x)ex 由於非齊次微分方程的通解=齊次微分方程的通解+非齊次微分方程的特解 所以，微分方程y''-3y'+2y=xex的通解為y+y*＝(− 1 2 x2+x+C1)ex+C2e2x．更多追問追答追問-2a＝1，2a＋b＝0 這兩個式子是怎麼得來的啊追答採納一下嗎追問嗯嗯採納能幫我解答一下嘛 怎樣理解微分方程F（x，y，y'）=0 這是微分方程，就是y是x的函式，y的倒數是與y和X都相關的。 含有未知函式的導數，如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函式、未知函式的導數與自變數之間的關係的方程，叫做微分方程。 未知函式是一元函式的，叫常微分方程；未知函式是多元函式的叫做偏微分方程。微分方程有時也簡稱方程。 擴充套件資料： 偏微分方程的階數定義類似常微分方程，但更細分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個自變數的值域中無法歸類在上述任何一種型式中。 微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。 常微分方程常見的約束條件是函式在特定點的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導數的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。 若是二階的常微分方程，也可能會指定函式在二個特定點的值，此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數值，稱為狄利克雷邊界條件（第一類邊值條件），此外也有指定二個特定點上導數的邊界條件。 什麼是解微分方程？ 微分方程指描述未知函式的導數與自變數之間的關係的方程。 微分方程的解是一個符合方程的函式。 比如： y'=x 就是一個微分方程 解法: dy/dx=x dy=xdx dy=1/2 dx^2 則 y=1/2 x^2+C
