如何解微分方程 - 4种方法来解微分方程

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目录方法1：基本方法1、定义导数。2、不要混淆阶数（最高导数阶数）和次数（导数的最高次数）。3、了解如何区别通解、完全解和特解。方法2：解一阶微分方程1、看看这个变量是否可分离。2、如果变量是不可分离的，检查该微分方程是否是齐次的。3、如果不能用以上方法得出结果，试试可不可以用dy/dx + Py = Q形式的线性方程解出来（P Q 都是只关于x的方程或常数）。4、解伯努利方程： dy/dx + p(x) y = q(x) yn方法3：解二阶微分方程1、看看微分方程是否符合图5的等式（1），f(y)是只关于y的函数，或者是一个常数。2、用常系数求解二阶线性微分方程：看看这个微分方程满足不满足图6中的等式(1)。3、要解个一般的二阶线性微分方程，要看看该微分方程是否满足图7所示的方程(1)。学了两三学期的微积分以后就要利用导数来完整地练习解微分方程了。导数是一种数据相对于另一种的变化速率。例如，速度随着时间的变化率就是速度关于时间的导数（和斜率相比较一下）。每天这种变化率都会出现很多次，例如，复利定律中，利息增加的速度和账户金额成比例，用dV(t)/dt=rV(t) 和 V(0)=P 可以表示出来（P就是初始金额），V(t)是时间的函数，表示目前的账户金额数（用以不断评估利息），r是目前利率（dt是极短的时间间隔，dV(t)是无穷小金额，是V(t)在这个时间的变化，他们的商是增加速率）。虽然信用卡利息通常是每日累积计算，以APR（年度增加率）来表示，这个微分方程还是可以可以解出一个方程，得到连续解V(t)= Pe ^(rt)。本文将教你如何解决最常见类型的微分方程，尤其是力学和物理方程。

方法1：基本方法

1、定义导数。当变量倾向于0的时候，函数（一般是y）增量和变量（一般是x）增量的比值会取得一个极限值，这就是导数（也称为微分系数，特别在英国）。或者说在一瞬间，变量的微小变化造成的函数的微小变化。以速度距离，速度就是距离对时间的瞬时变化。下面比较一阶导数和二阶导数:一阶导数即原导数的函数。例如:“速度是距离关于时间的一阶导数。”

二阶导数即函数导数的导数。例:“加速度是距离对时间的二阶导数。”

2、不要混淆阶数（最高导数阶数）和次数（导数的最高次数）。最高导数次数是由最高阶导数的阶数决定的。导数的最高次数则是导数中的项的最高次数。比如图一的微分方程是二阶、三次导数。

3、了解如何区别通解、完全解和特解。完整解包含一些任意常数，任意常数的数目和导数的最高阶数相等（要解开n阶微分方程，需要进行n次积分，每次积分都需要加入一项任意常数）。例如在复利定律里，微分方程dy/dt=ky是一阶导数，完整解y = ce^(kt) 正好有一个任意常数。特解是用特定数字带入通解来获得的。

方法2：解一阶微分方程

1、看看这个变量是否可分离。一个微分方程若可以表达为f(x)dx + g(y)dy = 0，则其变量可分离。f(x)是只关于x的函数，g(y)是只关于y的函数。这些都是最容易解的微分方程。他们可以积分为∫f(x)dx +∫g(y)dy = c，c是一个任意常数。下面是一个通用的方法，参见图2为例。去掉分式部分。如果等式含有微分，用独立变量的微分相乘。

把所有具有相同微分的项集合成一项

分别积分不同微分的部分。

简化表达式。可以通过合并同类项，把对数转化为指数，用最简单的符号来表达任意常数，以下为例

2、如果变量是不可分离的，检查该微分方程是否是齐次的。如果把x和y替换为λx和λy，会导致整个函数的值为原函数乘以λ的n次方，那么λ的次数n就是原函数的次数。这样微分方程M dx + N dy = 0就是均匀的。如果出现这种情况，请用以下步骤来解。图3是一个示例。让 y=vx，得出dy/dx = x(dv/dx) + v.

从 M dx + N dy = 0可得到dy/dx = -M/N = f(v)。因为 y 是v的函数。

得出 f(v) = dy/dx = x(dv/dx) + v 。现在变量x 和 v 可以分离了： dx/x = dv/(f(v)-v))

用可分离的变量解新得出的微分方程，然后用y替代vx 得出y