4種方法來解微分方程

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目錄方法1：基本方法1、定義導數。2、不要混淆階數（最高導數階數）和次數（導數的最高次數）。3、瞭解如何區別通解、完全解和特解。方法2：解一階微分方程1、看看這個變量是否可分離。2、如果變量是不可分離的，檢查該微分方程是否是齊次的。3、如果不能用以上方法得出結果，試試可不可以用dy/dx + Py = Q形式的線性方程解出來（P Q 都是隻關於x的方程或常數）。4、解伯努利方程： dy/dx + p(x) y = q(x) yn方法3：解二階微分方程1、看看微分方程是否符合圖5的等式（1），f(y)是隻關於y的函數，或者是一個常數。2、用常係數求解二階線性微分方程：看看這個微分方程滿足不滿足圖6中的等式(1)。3、要解個一般的二階線性微分方程，要看看該微分方程是否滿足圖7所示的方程(1)。學了兩三學期的微積分以後就要利用導數來完整地練習解微分方程了。導數是一種數據相對於另一種的變化速率。例如，速度隨着時間的變化率就是速度關於時間的導數（和斜率相比較一下）。每天這種變化率都會出現很多次，例如，複利定律中，利息增加的速度和帳戶金額成比例，用dV(t)/dt=rV(t) 和 V(0)=P 可以表示出來（P就是初始金額），V(t)是時間的函數，表示目前的帳戶金額數（用以不斷評估利息），r是目前利率（dt是極短的時間間隔，dV(t)是無窮小金額，是V(t)在這個時間的變化，他們的商是增加速率）。雖然信用卡利息通常是每日累積計算，以APR（年度增加率）來表示，這個微分方程還是可以可以解出一個方程，得到連續解V(t)= Pe ^(rt)。本文將教你如何解決最常見類型的微分方程，尤其是力學和物理方程。

方法1：基本方法

1、定義導數。當變量傾向於0的時候，函數（一般是y）增量和變量（一般是x）增量的比值會取得一個極限值，這就是導數（也稱爲微分系數，特別在英國）。或者說在一瞬間，變量的微小變化造成的函數的微小變化。以速度距離，速度就是距離對時間的瞬時變化。下面比較一階導數和二階導數:一階導數即原導數的函數。例如:“速度是距離關於時間的一階導數。”

二階導數即函數導數的導數。例:“加速度是距離對時間的二階導數。”

2、不要混淆階數（最高導數階數）和次數（導數的最高次數）。最高導數次數是由最高階導數的階數決定的。導數的最高次數則是導數中的項的最高次數。比如圖一的微分方程是二階、三次導數。

3、瞭解如何區別通解、完全解和特解。完整解包含一些任意常數，任意常數的數目和導數的最高階數相等（要解開n階微分方程，需要進行n次積分，每次積分都需要加入一項任意常數）。例如在複利定律裏，微分方程dy/dt=ky是一階導數，完整解y = ce^(kt) 正好有一個任意常數。特解是用特定數字帶入通解來獲得的。

方法2：解一階微分方程

1、看看這個變量是否可分離。一個微分方程若可以表達爲f(x)dx + g(y)dy = 0，則其變量可分離。f(x)是隻關於x的函數，g(y)是隻關於y的函數。這些都是最容易解的微分方程。他們可以積分爲∫f(x)dx +∫g(y)dy = c，c是一個任意常數。下面是一個通用的方法，參見圖2爲例。去掉分式部分。如果等式含有微分，用獨立變量的微分相乘。

把所有具有相同微分的項集合成一項

分別積分不同微分的部分。

簡化表達式。可以透過合併同類項，把對數轉化爲指數，用最簡單的符號來表達任意常數，以下爲例

2、如果變量是不可分離的，檢查該微分方程是否是齊次的。如果把x和y替換爲λx和λy，會導致整個函數的值爲原函數乘以λ的n次方，那麼λ的次數n就是原函數的次數。這樣微分方程M dx + N dy = 0就是均勻的。如果出現這種情況，請用以下步驟來解。圖3是一個示例。讓 y=vx，得出dy/dx = x(dv/dx) + v.

從 M dx + N dy = 0可得到dy/dx = -M/N = f(v)。因爲 y 是v的函數。

得出 f(v) = dy/dx = x(dv/dx) + v 。現在變量x 和 v 可以分離了： dx/x = dv/(f(v)-v))

用可分離的變量解新得出的微分方程，然後用y替代vx 得出y